Berechnung des jährlichen Zinssatzes mit der Zinseszins-Formel

Um den fixen jährlichen Zinssatz zu ermitteln, der für das Kapital in den ersten drei Jahren gilt, können wir die Formel für den Zinseszins anwenden. Die allgemeine Formel für den Endwert $x_n$ eines Kapitals $K$ nach $n$ Jahren bei einem Zinssatz $r$ lautet:

$x_n = K \cdot (1 + r)^n$

Wir haben die folgenden Werte:

• $x_0 = 100.000 \, €$
• $x_1 = 103.000 \, €$
• $x_2 = 106.090 \, €$
• $x_3 = 109.272,7 \, €$

Um den jährlichen Zinssatz $r$ zu bestimmen, können wir die Werte für $x_1$, $x_2$ und $x_3$ verwenden und die Formel entsprechend umstellen:

$103.000 = 100.000 \cdot (1 + r)$ $1 + r = \frac{103.000}{100.000}$ $1 + r = 1.03$ $r = 0.03$

Der jährliche Zinssatz beträgt also $3\%$.

Wir können dies überprüfen, indem wir die Formel für $x_2$ und $x_3$ verwenden und sicherstellen, dass sie mit dem angegebenen Kapital übereinstimmen:

Für $x_2$: $x_2 = 100.000 \cdot (1 + 0.03)^2$ $x_2 = 100.000 \cdot 1.0609$ $x_2 = 106.090$

Für $x_3$: $x_3 = 100.000 \cdot (1 + 0.03)^3$ $x_3 = 100.000 \cdot 1.092727$ $x_3 = 109.272,7$

Beide Berechnungen stimmen mit den angegebenen Werten in der Tabelle überein, was bestätigt, dass der jährliche Zinssatz $r = 3\%$ korrekt ist.